مدل بلترامی-کلاین هندسه ی هذلولوی با کاربردهای آن در نظریه ی نسبیت خاص اینشتین

در این رساله، ‏‎‎بعد از یک مرور تاریخی بر هندسه ی نااقلیدسی، به یادآوری بنداشت های هیلبرت برای صفحه ی اقلیدسی می پردازیم. سپس، صفحات مطلق با رهیافت کارتسل یادآوری می شوند. صفحات مطلق عام، یعنی صفحات مطلق ناپیوسته و غیرارشمیدسی، به روش های گوناگونی رده بندی شده اند‎. در این رساله با معرفی مفهوم ‎ ‎ شبه-انتها یک رده بندی دیگر برای صفحات مطلق عام ارائه می کنیم. ‎یک شبه-انتها عبارتست از یک بافه از خطوط که دو به دو نقطه ی اشتراک و عمود مشترک نداشته باشند. اگر ? عدد اصلی تمام شبه-انتهاهایی باشد که یک خط مفروض در آن ها وجود دارد، در این صورت ‎? برای تمام خطوط برابر است و در نتیجه هر صفحه ی مطلق ?، دارای یک عدد اصلی منحصربه فرد ? است که می توان برای رده بندی صفحات مطلق به کار برده شود. برای حالت ? ? 0 همواره .? ? 2 به ویژه حالت ? = 2 را صفحات شبه-هذلولوی می نامیم و نشان خواهیم داد که صفحات هذلولوی، به ویژه مدل بلترامی-کلاین در این رده قرار می گیرند. ‏مفاهیم k-لوپ و جایروگروه معرفی می شوند. سپس با معرفی فضاهای جایروبرداری‏، رهیافت فضای جایروبرداری آبراهام اونگار معرفی می شود. فضاهای جایروبرداری در هندسه ی هذلولوی دقیقاً همان نقش فضاهای برداری را در هندسه ی اقلیدسی بازی می کنند. ‎‎هندسه ی هذلولوی کلاسیک (یعنی با در نظر گرفتن بنداشت پیوستگی) و چهار مدل معروف آن، مدل بلترامی-کلاین، مدل های پوانکاره و مدل لورنتس ارائه خواهند شد و نشان می دهیم که همه ی این مدل ها با هم یکرخت هستند. ‎‏ثابت‎ می شود که تمام مدل های این هندسه یکریخت‎ هستند.‎‎ آبراهام اونگار مفهوم جایرومساحت را بر اساس کاستی تعریف کرده است. اما با این رهیافت مساحت ویژگی جمع پذیری ندارد. رهیافت دیگر برای مساحت بر اساس ایده های کارتسل بر اساس کاستی قابل بیان است. در این رساله بر اساس رهیافت کارتسل‏، مدل بلترامی-کلاین را به صورت تحلیلی روی دیسک باز واحد از اعداد مختلط بیان کرده و به ویژه فرمولی برای بازتاب نقطه ای و جمع نسبیتی اینشتین به روش هندسی به دست می آوریم‎. همچنین با ترکیب رهیافت های اونگار و کارتسل یک ‏روش دقیق برای کاستی و مساحت در مدل بلترامی-کلاین خواهیم آورد. با توجه به ویژگی کاستی‏، با این رهیافت مساحت خاصیت جمع پذیری دارد. در ادامه با به کار بردن یکریختی بین میدان های مرتب (r,+,.) و ((-1,1),?,?) به مثلثات در مدل بلترامی-کلاین می پردازیم که به طور کامل شبیه مثلثات در هندسه ی اقلیدسی است. در پایان برخی کاربردهای هندسه ی هذلولوی را در نظریه ی نسبیت خاص اینشتین بیان می کنیم.